Question

（2010•鐵嶺）如圖，一個(gè)直角三角形紙片的頂點(diǎn)A在∠MON的邊OM上移動(dòng)，移動(dòng)過(guò)程中始終保持AB⊥ON于點(diǎn)B，AC⊥OM于點(diǎn)A．∠MON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)．
（1）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）點(diǎn)A在移動(dòng)的過(guò)程中，若射線ON上始終存在一點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于OP所在的直線對(duì)稱(chēng)，判斷并說(shuō)明以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是怎樣特殊的四邊形？
（3）若∠MON=45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，只寫(xiě)出結(jié)果即可．不用證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB⊥ON，AC⊥OM，根據(jù)兩銳角互余，易證得∠AED=∠ADE，然后根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，即可得AD=AE；
（2）連接DF、EF，由點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)，E、D在OP上，可證得AE=FE，AD=FD，又由AD=AE，根據(jù)由四條邊都相等的四邊形是菱形，即可得四邊形ADFE是菱形；
（3）由四邊形ADFE是菱形，可得AE=EF=AD，OA=OF，又由∠MON=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，易得OA=AC=OK，則可證得OC=AC+AD．
解答：解：（1）AE=AD．
理由如下：
∵AB⊥ON，AC⊥OM，
∴∠AED=90°-∠MOP，∠ADE=∠ODB=90°-∠PON，
而∠MOP=∠NOP，
∴∠AED=∠ADE．
∴AD=AE．
（2）菱形．
理由：連接DF、EF，
∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)，E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD．
由（1）得AE=AD，
∴AE=FE=AD=FD．
∴四邊形ADFE是菱形；
（3）OC=AC+AD．
理由：∵四邊形ADFE是菱形，
∴∠AEO=∠FEO，
∵∠AOE=∠FOE，
∴∠EFO=∠EAO，
∵AC⊥OM，OP平分∠MON，AE=EF，
∴EF⊥OC，
∴∠EFO=90°，
∴AE=EF=AD，OA=OF，
∵∠MON=45°，
∴∠ACO=∠AOC=45°，
∴OA=AC，∠FEC=∠FCE，
∴EF=CF，
∴CF=AE，
∴OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂直的定義，菱形的判定，等腰三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．