【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,∠DAB被對角線AC平分,且AC2=AB·AD,我們稱該四邊形為“可分四邊形”,∠DAB稱為“可分角”.

(1)如圖2,四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,如果∠DCB=∠DAB,則∠DAB=_________.

(2)如圖3,在四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求證:四邊形ABCD為“可分四邊形”;

(3)現(xiàn)有四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”,且AC=4,BC=2,∠D=90°,求AD的長?

圖1 圖2 圖3

【答案】(1)(2)證明見解析(3)

【解析】試題分析:(1)、根據(jù)“可分四邊形”和“可分角”的定義得出答案;(2)、根據(jù)角平分線的性質得出∠DAC=∠CAB=30°,∠DCA=150°-∠ACB,然后根據(jù)角度之間的關系得出∠ADC=∠ACB,從而說明△ACD和△ABC相似,從而得出結論;(3)、根據(jù)“可分四邊形”和“可分角”的性質得出∠DAC=∠CAB, ,從而說明△ACD和△ABC相似,根據(jù)相似得出∠ACB=∠D=90°,然后根據(jù)勾股定理求出AB的長度,結合得出AD的長度.

試題解析:(1)

(2)∵AC平分∠DAB,∠DAB=60° ∴∠DAC=∠CAB=30° ∵∠DCB=150°

∴∠DCA=150°-∠ACB

在△ADC中,∠ADC=180°- ∠DAC- ∠DCA =180°-30°-(150°-∠ACB)=∠ACB

∴△ACD∽△ABC ∴, 即證四邊形ABCD為“可分四邊形”

(3)∵四邊形ABCD為“可分四邊形”,∠DAB為“可分角”∴AC平分∠DAB,

即∠DAC=∠CAB, ∴△ACD∽△ABC ∴∠ACB=∠D=90°

在Rt△ACB中AB= ∴AD=

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