Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，有一點(diǎn)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停止．問：
（1）幾秒鐘后△PBQ的面積等于8cm²？
（2）幾秒鐘后PQ⊥DQ？
（3）是否存在這樣的時(shí)刻，使S_△PDQ=8cm²，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出PB，QB的長，利用△PBQ的面積等于8cm²列式求值即可；
（2）如果PQ⊥DQ，則∠DQP為直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出

BP

CQ

=

BQ

CD

，再設(shè)AP=x，QB=2x，得出

6-x

12-2x

=

2x

6

，求出x即可；
（3）設(shè)出發(fā)秒x時(shí)△DPQ的面積等于8平方厘米，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，再根據(jù)根的判別式判斷方程是否有解即可．

解答：解：
（1）設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm²．
則AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴

1

2

×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面積等于8cm²；
（2）設(shè)x秒后PQ⊥DQ時(shí)，則∠DQP為直角，
∴△BPQ∽△CQD，
∴

BP

CQ

=

BQ

CD

，
設(shè)AP=x，QB=2x．
∴

6-x

12-2x

=

2x

6

，
∴2x²-15x+18=0，
解得：x=

3

2

或6，
答：

3

2

秒或6秒鐘后PQ⊥DQ；
（3）設(shè)出發(fā)秒x時(shí)△DPQ的面積等于8cm²．
∵S_矩形ABCD-S_△APD-S_△BPQ-S_△CDQ=S_△DPQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴12×6-

1

2

×12x-

1

2

×2x（6-x）-

1

2

×6×（12-2x）=8，
化簡整理得   x²-6x+28=0，
∵△=36-4×28=-76＜0，
∴原方程無解，
∴不存在這樣的時(shí)刻，使S_△PDQ=8cm²．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的性質(zhì)列出方程．