Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿折線A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）t為何值時(shí)，四邊形APQD為矩形；

（2）如圖，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么t為何值時(shí)，⊙P和⊙Q外切．

 

Answer 1

【答案】

（1）4；（2）4s，s，s.

【解析】

試題分析：(1)求出CQ=t，AP=4t，BP=20-4t，由已知推出∠B=∠C=90°，CD∥AB，推出CQ=BP時(shí)，四邊形QPBC是矩形，得出方程t=20-4t，求出即可．

(2) 主要考慮有四種情況，一種是P在AB上；一種是P在BC上時(shí)．一種是P在CD上時(shí)，又分為兩種情況，一種是P在Q右側(cè)，一種是P在Q左側(cè)．并根據(jù)每一種情況，找出相等關(guān)系，解出即可．

試題解析：根據(jù)題意得：CQ=t，AP=4t，則BP=20-4t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，

∴只有CQ=BP時(shí)，四邊形QPBC是矩形，

即t=20-4t，

解得：t=4，

所以，當(dāng)t=4s時(shí)，四邊形QPBC是矩形．

（2）當(dāng)PQ=4時(shí)，⊙P與⊙Q外切．

①如果點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)．如圖3

只有當(dāng)四邊形APQD為矩形時(shí)，PQ=4．

由（1），得t=4（s）；

②如果點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，如圖．

此時(shí)t≥5，則CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，

∴⊙P與⊙Q外離；

③如果點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，如圖．

可得CQ=t，CP=4t-24．當(dāng)CQ-CP=4時(shí)，⊙P與⊙Q外切．

此時(shí)，t-（4t-24）=4，解得 t=（s）；

④如果點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，如圖．

當(dāng)CP-CQ=4時(shí)，⊙P與⊙Q外切．

此時(shí)，4t-24-t=4，

解得 t=（s），

∵點(diǎn)P從A開(kāi)始沿折線A-B-C-D移動(dòng)到D需要11s，

點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊移動(dòng)到D需要20s，

而＜11，

∴當(dāng)t為4s，s，s時(shí)，⊙P與⊙Q外切．

考點(diǎn): 1.矩形的判定與性質(zhì)；2.圓與圓的關(guān)系.