Question

如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE.AC和BE相交于點(diǎn)O.

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；

（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（圖2），（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長(zhǎng)交線段AB于點(diǎn)Q，QR⊥BD，垂足為點(diǎn)R.

①四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；

②當(dāng)線段BP的長(zhǎng)為何值時(shí)，△PQR與△BOC相似？（改編）

Answer 1

解：（1）四邊形ABCE是菱形。                     

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC＝AB，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，                   

又∵AB=BC，∴四邊形ABCE是菱形 .   

（2）①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化。

方法一：∵ABCE是菱形，∴AC⊥BE，OC=AC=3，∵BC=5，∴BO=4，

過A作AH⊥BD于H，（如圖1）.

∵S_△ABC＝BC×AH＝AC×BO，

即：×5×AH＝×6×4，∴AH＝.  

【或 ∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCA公用，∴△AHC∽△BOC，∴AH:BO＝AC:BC，

即：AH:4＝6:5，∴AH＝.         

由菱形的對(duì)稱性知，△PBO≌△QEO，∴BP＝QE，

∴S_{四邊形PQED}＝（QE+PD）×QR＝（BP+PD）×AH＝BD×AH

  ＝×10×＝24.               

方法二: 由菱形的對(duì)稱性知，△PBO≌△QEO，∴S_△PBO＝ S_△QEO，

∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，

又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，                             

∴S_{四邊形PQED}＝S_△QEO＋S_{四邊形POED}＝S_△PBO＋S_{四邊形POED}＝S_△BED

＝×BE×ED＝×8×6＝24.                              

②方法一：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，使△PQR與△COB相似時(shí)，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng)，∴∠2與∠1對(duì)應(yīng)，

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3                                 

過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點(diǎn)，△OGC∽△BOC，

∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，         

∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.             

方法二：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，使△PQR與△COB相似時(shí)，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，

∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng)，∴∠2與∠1對(duì)應(yīng)，               

∴QR:BO＝PR:OC，即：:4＝PR:3，∴PR＝，     

過E作EF⊥BD于F，設(shè)PB＝x，則RF=QE=PB=x，

DF＝==，                    

∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.    

方法三: 如圖4，若點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，使點(diǎn)R與C重合，

由菱形的對(duì)稱性知，O為PQ的中點(diǎn)，∴CO是Rt△PCQ斜邊上的中線，

∴CO=PO，                                           

∴∠OPC＝∠OCP，此時(shí)，Rt△PQR∽R(shí)t△CBO，      

∴PR:CO＝PQ:BC，即PR:3＝6:5，∴PR＝          

∴PB＝BC-PR＝5－＝.