Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝30°，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB延長(zhǎng)線于D，CD＝3cm，

（1）求⊙O的直徑。

（2）若動(dòng)點(diǎn)M以3cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)。同時(shí)點(diǎn)N以1.5cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0≤t≤2)，連結(jié)MN，當(dāng)t為何值時(shí)△BMN為Rt△？并求此時(shí)該三角形的面積？

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直徑.

∴∠ACB＝90°   ………………………（0.5＇）

又∠A＝30°

∴∠ABC＝60°  …………………………（1＇）

連接OC，因CD切⊙O于C，則∠OCD＝90°  

在△OBC中

∵OB＝OC，∠ABC＝60°

∴∠OCB＝60°

∴∠BCD＝30°       ……………………………………………………（2.5＇）

又∠OBC＝∠BCD＋∠D

∴∠D＝30° …………………………………………………………（3＇）

∴AC＝CD＝3  ……………………………………………………（3.5＇）

在Rt△ABC中，cosA＝

∴AB＝＝＝6（cm） ……………………………………（5＇）

（2）△BMN中，①當(dāng)∠BNM＝90°時(shí)，cos∠MBC＝

即cos60°＝           ∴t＝1        ………………………（6＇）

此時(shí)BM＝3   BN＝1.5   MN＝＝        …………（7＇）

∴S△_BMN＝BN·MN＝ （cm²）      ………………………（8＇）

②當(dāng)∠NMB＝90°時(shí)，cos∠MBC＝

即cos60°＝       ∴ t＝1.6      ………………………………………（9＇）

此時(shí)BM＝ BN＝   MN＝＝        ………（10＇）

∴S△_BMN＝ BM·MN＝××＝（cm²） ………………（11＇）