Question

（2012•萊蕪）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求△ACD的面積；
（3）點(diǎn)E為直線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F．問是否存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)，可先將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的解析式中，即可確定待定系數(shù)的值，由此得解．
（2）可先求出A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，求出△ACD的三邊長后，可判斷出該三角形的形狀，進(jìn)而得到該三角形的面積．（也可將△ACD的面積視為梯形與兩個小直角三角形的面積差）
（3）由于直線EF與y軸平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，則△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可據(jù)此求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，再代入直線BC的解析式中，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為 y=a（x-2）²-1，代入C（O，3）后，得：
a（0-2）²-1=3，a=1
∴拋物線的解析式：y=（x-2）²-1=x²-4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直線BC：y=-x+3；
由（1）知：拋物線的對稱軸：x=2，則 D（2，1）；
∴AD=

AG2+DG2

=

2

，AC=

OC2+OA2

=

10

，CD=

(3-1)2+22

=2

2

，
即：AC²=AD²+CD²，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S_△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

×

2

×2

2

=2．

（3）由題意知：EF∥y軸，則∠FED=∠OCB，若△OCB與△FED相似，則有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x軸；
將點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
x²-4x+3=1，解得 x=2±

2

；
當(dāng)x=2+

2

時，y=-x+3=1-

2

；
當(dāng)x=2-

2

時，y=-x+3=1+

2

；
∴E₁（2+

2

，1-

2

）、E₂（2-

2

，1+

2

）．
②∠EDF=90°；
易知，直線AD：y=x-1，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=x-1，
x²-5x+4=0，
解得 x₁=1、x₂=4；
當(dāng)x=1時，y=-x+3=2；
當(dāng)x=4時，y=-x+3=-1；
∴E₃（1，2）、E₄（4，-1）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)E，且坐標(biāo)為：（2+

2

，1-

2

）、（2-

2

，1+

2

）、（1，2）或（4，-1）．

點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識；需要注意的是，已知兩個三角形相似時，若對應(yīng)邊不相同，那么得到的結(jié)果就不一定相同，所以一定要進(jìn)行分類討論．