Question

（2006•黃岡）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（4，3），動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)．
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）記△MPA的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜4）；
（3）當(dāng)t=______秒時(shí)，S有最大值，最大值是______；
（4）若點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)S有最大值且△QAN為等腰三角形時(shí)，求直線AQ的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形CPN中，根據(jù)CP的長(zhǎng)和∠BPA的三角函數(shù)值求出CN、PN的長(zhǎng)，即可表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）三角形MPA中，MA的長(zhǎng)易得出，MA上的高就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系可得出S的最大值，及對(duì)應(yīng)的t的值；
（4）本題要分三種情況進(jìn)行討論：①Q(mào)N=NA；②AQ=AN；③QN=AQ；可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出NQ、NA、QA的長(zhǎng)，根據(jù)上述三種情況中不同的等量關(guān)系可求出不同的Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線AQ的解析式．
解答：解：（1）（4-t，）；

（2）S=-t²+t（0＜t＜4）；

（3）由（2）知：S=-t²+t=-（t-2）²+，
因此當(dāng)t=2時(shí)，S_max=；

（4）由（3）知，當(dāng)S有最大值時(shí)，t=2，此時(shí)N在BC的中點(diǎn)處，如圖，
設(shè)Q（0，y），
∵△AOQ是直角三角形，
∴AQ²=16+y²，QN²=4+（3-y）²，AN²=13，
∵△QAN為等腰三角形，
①若AQ=AN，此時(shí)方程無(wú)解，
②若AQ=QN，解得y=，
③若QN=AN，解得y₁=0，y₂=6，
∴Q₁（0，），Q₂（0，0），Q₃（0，6），
當(dāng)Q為（0，），直線AQ的解析式為y=，
當(dāng)Q為（0，0）時(shí)，A（4，0）、Q（0，0）均在x軸上，
直線AQ的解析式為y=0（或直線為x軸），
當(dāng)Q為（0，6）時(shí)，Q、N、A在同一直線上，△ANQ不存在，舍去，
故直線AQ的解析式為y=或y=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圖形面積的求法及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．要注意（4）題在不確定等腰三角形的腰和底的情況下，要分類討論，不要漏解．