Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，
（1）求CD的長；
（2）若∠ABC的平分線交CD于點E，連接AE，求∠AEB的正切值．

Answer 1

（1）過點A作AF⊥BC垂足為F，
由題意得FC=AD=2，AF=CD，（1分）
∵BC=5，∴BF=3，（1分）
在Rt△AFB中解得AF=4，∴CD=4．（1分）

（2）設(shè)EC=x，由AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
得△ABE≌△CBE，
AE=EC=x，∠AEB=∠CEB．（2分）
DE=4-x，在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²x²=（4-x）²+2²，得x=．（1分）
tan∠AEB=tan∠CEB==2．（2分）
分析：（1）過點A作AF⊥BC垂足為F，求得BF的長后在Rt△AFB中解得AF的長后即可得到答案；
（2）證得△ABE≌△CBE后，在Rt△ADE中利用勾股定理求得DE的長后利用銳角三角函數(shù)的定義可以求∠ABE的正切值．
點評：本題考查了梯形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是利用梯形的性質(zhì)得到進一步解題的條件．