Question

如圖，在直角三角形ABC和直角三角形ADE中，AB=AC，AD=AE，CE與BD交于點(diǎn)M，BD交AC于N．

①求證：BD=CE；
②求證：BD⊥CE；
③當(dāng)三角形ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時(shí)，上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)選擇一個(gè)結(jié)論給予證明．

Answer 1

①證明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠EAC，
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

②證明：∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠EAD=90°，
∴∠1+∠AEC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠ADB=90°，
∴∠DME=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE；

③解：當(dāng)三角形ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時(shí)，上述結(jié)論還成立，
理由是：延長DB交CE于F，
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠EAD=90°，
∴∠4+∠ADB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠3+∠AEC=90°，
∴∠5=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
即當(dāng)三角形ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時(shí)，上述結(jié)論還成立．
分析：①根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出∠BAC=∠EAD=90°，推出∠BAD=∠EAC，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠AEC=∠ADB，根據(jù)∠1+∠AEC=90°推出∠2+∠ADB=90°，求出∠DME=90°，根據(jù)垂直定義求出即可；
③延長DB交CE于F，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出BD=CE，∠AEC=∠ADB，求出∠3+∠AEC=90°，求出∠5=90°，根據(jù)垂直定義求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和推理能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．