Question

（2012•豐澤區(qū)質(zhì)檢）如圖，已知拋物線y=-

1

4

x2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）設(shè)以線段BC為直徑的圓的圓心為點(diǎn)D，試判斷點(diǎn)A與⊙D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限內(nèi)，求當(dāng)四邊形PAOC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），代入即可得出b的值；
（2）先求出點(diǎn)D、點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出DA的長(zhǎng)，將DA的長(zhǎng)與⊙D的半徑進(jìn)行比較即可．
（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，然后可得S_PAOC=S_△PAO+S_△POC，從而得出關(guān)于x的二次函數(shù)，利用配方法求最值即可，從而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x2+bx+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），
∴-

1

4

×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=

3

2

．
（2）令-

1

4

x2+

3

2

x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=8，
故點(diǎn)B（-2，0），C（8，0），也可得出BC=10，D（3，0），
即⊙D的半徑R=5，
令x=0得：y=4，即OA=4，
∵AD=

OA2+OD2

=

42+32

=5=R，
∴點(diǎn)AD 在⊙D上．
（3）連接OP，設(shè)P（x，-

1

4

x²+

3

2

x+4），

則四邊形PAOC的面積為：S_PAOC=S_△PAO+S_△POC=

1

2

OA×x+

1

2

OC×（-

1

4

x²+

3

2

x+4）
=2x+4（-

1

4

x²+

3

2

x+4）
=-x²+8x+16
=-（x+4）²+32，
故當(dāng)x=4，即P的坐標(biāo)為（4，6）時(shí)，S_{四邊形PAOC}最大．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及二次函數(shù)的最值，難點(diǎn)在第三問(wèn)，要注意將不規(guī)則圖形分成兩個(gè)三角形，從而轉(zhuǎn)化后利用函數(shù)的最值計(jì)算，難度較大．