Question

求k的值，使得兩個(gè)一元二次方程：x²+kx-1=0，x²+x+（k-2）=0有相同的根，并求兩個(gè)方程的根．

Answer 1

解：不妨設(shè)a是這兩個(gè)方程相同的根，由方程根的定義有
a²+ka-1=0，①
a²+a+（k-2）=0．②
①-②有ka-1-a-（k-2）=0，
即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，兩個(gè)方程都變?yōu)閤²+x-1=0，所以兩個(gè)方程有兩個(gè)相同的根，
x₁=，x₂=
沒(méi)有相異的根；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，代入①或②都有k=0，
此時(shí)兩個(gè)方程變?yōu)閤²-1=0，x²+x-2=0．
解這兩個(gè)方程，x²-1=0的根為x₁=1，x₂=-1；
x²+x-2=0的根為x₁=1，x₂=-2．
∴x=1為兩個(gè)方程的相同的根．
分析：若兩個(gè)方程有相同的根，一般是設(shè)出兩個(gè)方程的公共根，然后相減，用分組分解法因式分解，求出字母系數(shù)和公共根．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程的解和用因式分解法解一元二次方程，兩個(gè)方程有公共根，通常是設(shè)兩方程的公共根，代入兩個(gè)方程，然后相減，求出字母系數(shù)和公共根．