Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+42交x軸與點(diǎn)A，交直線y=x于點(diǎn)B，拋物線y=ax²-2x+c分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點(diǎn)P在這條拋物線上．
（1）求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d（d＞0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)C在直線AB：y=-2x+42上，將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入即可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理可知：D點(diǎn)在直線OB：y=x上，將D點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式即可求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，列出關(guān)于a和c二元一次方程組，解出a和c即可；
（3）根據(jù)Q為線段OB上一點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，則可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，又知P點(diǎn)在拋物線上，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即為線段PQ的長；
（4）根據(jù)PQ⊥x軸，可知P和Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，都為m，用含m的代數(shù)式分別表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，分兩種情況討論：①Q(mào)是線段OB上的一點(diǎn)；②Q是線段AB上的一點(diǎn)．分別求出d與m之間的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵點(diǎn)C在直線AB：y=-2x+42上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16，
∴y=-2×16+42=10，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10；
∵D點(diǎn)在直線OB：y=x上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4；

（2）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），
∵拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+10；

（3）∵Q為線段OB上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5，
∵點(diǎn)P在拋物線上，縱坐標(biāo)為5，
∴x²-2x+10=5，
解得x₁=8+2，x₂=8-2．
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8+2，5），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為2+3；
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8-2，5），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為2-3．
所以線段PQ的長為2+3或2-3；

（4）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，都為m，
∴P（m，m²-2m+10），Q（m，m）（此時(shí)Q在線段OB上）或Q（m，-2m+42）（此時(shí)Q在線段AB上）．
由，
解得．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（14，14）．
①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時(shí)，如圖所示，
在OD段，即當(dāng)0≤m＜4時(shí)，d=（m²-2m+10）-m=m²-3m+10=（m-12）²-8，d隨m的增大而減小；
在BD段，即當(dāng)4≤m≤14時(shí)，d=m-（m²-2m+10）=-m²+3m-10=-（m-12）²+8，
在對(duì)稱軸右側(cè)，d隨m的增大而減小，即當(dāng)12＜m≤14時(shí)，d隨m的增大而減小．
則當(dāng)0≤m＜4或12≤m≤14時(shí)，d隨m的增大而減小；
②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時(shí)，如圖所示，
在BC段，即當(dāng)14≤m＜16時(shí)，d=（-2m+42）-（m²-2m+10）=-m²+32，
在對(duì)稱軸右側(cè)，d隨m的增大而減小，即當(dāng)14≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減小；
在CA段，即當(dāng)16≤m≤21時(shí)，d=（m²-2m+10）-（-2m+42）=m²-32，
在對(duì)稱軸左側(cè)，d隨m的增大而減小，m不滿足條件．
綜上所述，當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行于坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)之間的距離，二次函數(shù)的增減性，難度中等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想．