Question

14．如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）如圖1，若點E是邊BC的中點，M是邊AB的中點，連接EM，求證：AE=EF．
（2）如圖2，若點E在射線BC上滑動（不與點B，C重合）．
①在點E滑動過程中，AE=EF是否一定成立？請說明理由；
②在如圖所示的直角坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在直線y=-2x+6上，求此時點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明△AME≌△ECF，可證得結(jié)論；
（2）①在AB上截取AM=EC，連接ME，由條件可證明△AME≌△ECF，可證明AE=EF；②設(shè)F（a，-2a+6），過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，則可用a表示出CH、FH，由角平分線的性質(zhì)可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，可求得F的坐標．

解答 （1）證明：
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵M、E為中點，
∴AM=EC=BE=BM，且CF平分∠DCB，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME和△ECF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：①若點E在線段BC上滑動時AE=EF一定成立．
證明：圖2中，在AB上截取AM=EC，連接ME，

∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分是角平分線，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AME和△ECF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
②設(shè)F（a，-2a+6），過F作FH⊥x軸于H，作FG⊥CD于G，如圖3，

 則CH=a-1，F(xiàn)H=-2a+6
∵CF為角平分線，
∴FH=CH，
∴a-1=-2a+6，解得$a=\frac{7}{3}$，
當$a=\frac{7}{3}$時，-2a+6=-2×$\frac{7}{3}$+6=$\frac{4}{3}$，
∴F點坐標為（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定及方程思想等知識．在（1）中證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）①中構(gòu)造三角形全等是關(guān)鍵，在（2）②中根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到關(guān)于F點坐標的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．