Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA、BC的延長線于點E、F，連接BE、DF．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO= ，求EM：MF的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，

∴∠AEO=∠CFO，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE=OF，

又∵OB=OD，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）解：設OM=x，

∵EF⊥AB，tan∠MBO= ，

∴BM=2x，

又∵AC⊥BD，

∴∠AOM=∠OBM，

∴△AOM∽△OBM，

∴ = ，

∴AM= = x，

∵AD∥BC，

∴△AEM∽△BFM，

∴EM：FM=AM：BM= x：2x=1：4．

【解析】（1）根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）設OM=x，根據(jù)∠MBO的正切值表示出BM，再根據(jù)△AOM和△OBM相似，利用相似三角形對應邊成比例求出AM，然后根據(jù)△AEM和△BFM相似，利用相似三角形對應邊成比例求解即可．
【考點精析】利用平行四邊形的判定和菱形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．