(2013•黃浦區(qū)二模)如圖,MN是⊙O的直徑,點(diǎn)A是弧
MN
的中點(diǎn),⊙O的弦AB交直徑MN于點(diǎn)C,且∠ACO=2∠CAO
(1)求∠CAO的度數(shù);
(2)若⊙O的半徑長為
3
,求AB的長.
分析:(1)先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷出∠AOC的度數(shù),再根據(jù)直角三角形兩角互補(bǔ)的性質(zhì)求出∠CAO的度數(shù)即可;
(2)過點(diǎn)O作OD⊥AB,由垂徑定理可知AD=
1
2
AB,在Rt△AOD中由銳角三角函數(shù)的定義可求出AD的長,故可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵M(jìn)N是⊙O的直徑,點(diǎn)A是弧
MN
的中點(diǎn),
∴∠AOM=
1
4
×360°=90°,
∴∠ACO+∠CAO=90°,
∵∠ACO=2∠CAO,
∴3∠CAO=90°,解得∠CAO=30°;

(2)過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,
∵點(diǎn)O是圓心,
∴AD=
1
2
AB,
在Rt△AOD中,
∵OA=
3
,∠CAO=30°,
∴AD=OA•cos30°=
3
×
3
2
=
3
2
,
∴AB=2AD=2×
3
2
=3.
點(diǎn)評:本題考查的是垂徑定理及圓周角定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
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2
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