在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<180°),得到△A1B1C.
(1)如圖1,當(dāng)AB∥CB1時(shí),設(shè)A1B1與BC相交于D.證明:△A1CD是等邊三角形;
(2)如圖2,連接AA1、BB1,設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2.求證:S1:S2=1:3;
(3)如圖3,設(shè)AC中點(diǎn)為E,A1B1中點(diǎn)為P,AC=a,連接EP,當(dāng)θ=______°時(shí),EP長(zhǎng)度最大,最大值為_(kāi)_____.

【答案】分析:(1)當(dāng)AB∥CB1時(shí),∠BCB1=∠B=∠B1=30°,則∠A1CD=90°-∠BCB1=60°,∠A1DC=∠BCB1+∠B1=60°,可證:△A1CD是等邊三角形;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ACA1∽△BCB1,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解;
(3)連接CP,當(dāng)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí),EP最長(zhǎng),當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到△A1B2C的位置時(shí),此時(shí)θ=∠ACA1=120°,EP=EC+CP=a+a=a.根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及EP的長(zhǎng).
解答:(1)證明:如圖,∵AB∥CB1,
∴∠BCB1=∠B=∠B1=30°,
∴∠A1CD=90°-∠BCB1=60°,∠A1DC=∠BCB1+∠B1=60°,
∴△A1CD是等邊三角形;

(2)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=CA1,∠ACA1=∠BCB1,BC=CB1
∴△ACA1∽△BCB1,
∴S1:S2=AC2:BC2=122=1:3;

(3)解:如圖,連接CP,當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到△A1B2C的位置時(shí),
此時(shí)θ=∠ACA1=120°,EP=EC+CP=a+a=a.
故答案為:120,a.
點(diǎn)評(píng):本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),特殊三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判斷與性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)及特殊三角形的性質(zhì)證明問(wèn)題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,AC=8,BC=6,AB=10,則△ABC的外接圓半徑長(zhǎng)為(  )
A、10B、5C、6D、4

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精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AC=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

17、在△ABC中,AC=5,中線AD=4,那么邊AB的取值范圍為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,AC與⊙O相切于點(diǎn)A,AC=AB=2,⊙O交BC于D.
(1)∠C=
45
45
°;
(2)BD=
2
2

(3)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果用π表示).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•松江區(qū)二模)如圖,已知在△ABC中,AC=15,AB=25,sin∠CAB=
45
,以CA為半徑的⊙C與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E,聯(lián)結(jié)AE,DE.
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)求△AED的面積.

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