Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線相交于點(diǎn)D，AE⊥DC交DC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是∠EAB的平分線；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分線．

（2）解：∵CD是⊙O的切線，
∴DC²=DB•DA，即4²=2•DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴．
即．
解得AE=．
∵DC是⊙O的切線，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴==．
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC²+BC²=AB²，即（2BC）²+（BC）²=6²
解得BC=．
分析：（1）要證明是角平分線，只要說明被AC分成的兩個(gè)角相等，又因?yàn)樵趫A中半徑相等，所以連接OC可以得到等腰三角形，也就有相等角了；
（2）因?yàn)镺C∥AE所以△DCO∽△DEA，因此只要知道圓的半徑就可以了，而半徑又可以利用切線長定理求出，這樣AE的長度就可以求出來了，根據(jù)弦切角定理∠DCB=∠DAC，所以可以把BC放到相似三角形內(nèi)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式就可以求解．
點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)考查點(diǎn)較多，三角形相似、切線長定理、弦切角定理和勾股定理，要細(xì)心思考認(rèn)真分析，思路還是比較好找的．