【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三點(diǎn),點(diǎn) P 是直線 BC 下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1) 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2) 是否存在點(diǎn) P,使△POC 是以 OC 為底邊的等腰三角形?若存在,求出 P 點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3) 在拋物線上是否存在點(diǎn) D(與點(diǎn) A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出點(diǎn) D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4;(2)存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為(,﹣2);(3)存在滿足條件的D點(diǎn),其坐標(biāo)為(5,6).
【解析】
(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上,則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)存在.分兩種情況討論,再利用待定系數(shù)法以及解方程組即可解決問(wèn)題.
(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,
把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得,解得,
∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4;
(2)如圖1,作OC的垂直平分線DP,交OC于點(diǎn)D,交BC下方拋物線于點(diǎn)P,
∴PO=PC,此時(shí)P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn),
∵C(0,﹣4),
∴D(0,﹣2),
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2,
代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=,
∴存在滿足條件的P點(diǎn),其坐標(biāo)為(,﹣2);
(3)如圖2,
①當(dāng)D點(diǎn)在直線BC的上方時(shí),過(guò)A點(diǎn)作AD1∥BC,交拋物線于D1,此時(shí),使得S△DBC=S△ABC,
∵B(4,0),C(0,﹣4),
∴直線BC的解析式為y=x﹣4,
∵AD1∥BC,
∴設(shè)直線AD11的解析式為y=x+n,
把A(﹣1,0)代入得,0=﹣1+n,則n=1,
∴直線AD1的解析式為y=x+1,
解得或,
∴D1的坐標(biāo)為(5,6),
②當(dāng)D點(diǎn)在直線BC的下方時(shí),
由直線AD1的解析式為y=x+1可知直線AD1和y軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, 1),
∴CE=5,
∴直線AD的解析式為y=x﹣10,
∵方程x2﹣3x﹣4=x﹣10無(wú)實(shí)數(shù)根,
故存在滿足條件的D點(diǎn),其坐標(biāo)為(5,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè),點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=3.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.
(2)如圖1,連接BC,點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn),連接OD,CD.OD交BC于點(diǎn)F,當(dāng)S△COF:S△CDF=3:2時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn),連接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在點(diǎn)P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,、分別為、上的點(diǎn),、的平分線分別交于點(diǎn)、,.若,則的度數(shù)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線L:y=x2+bx﹣2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C.且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1,0).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,并求出△ABC的面積;
(3)將拋物線向左或向右平移,得到拋物線L′,L′與x軸相交于A'、B′兩點(diǎn)(點(diǎn)A′在點(diǎn)B′的左側(cè)),并與y軸相交于點(diǎn)C′,要使△A'B′C′和△ABC的面積相等,求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A (0,2),B(﹣1,0),點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)、經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.
(1)如圖1,若該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且a=﹣1.
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式;
②連結(jié)CD,問(wèn):在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(﹣1,1),點(diǎn)Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè),請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是正方形,△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE,如圖所示,如果AF=5,AB=9,求:
(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度;
(2)求DE的長(zhǎng)度;
(3)BE與DF的位置關(guān)系如何?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā),按向上.向右.向下.向右的方向依次平移,每次移動(dòng)一個(gè)單位,得到點(diǎn)A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,BC邊上有一點(diǎn)P(不與點(diǎn)B,C重合),I為△APC的內(nèi)心,若∠AIC的取值范圍為m°<∠AIC<n°,則m+n=_____.
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