Question

如圖，PB切⊙O于B點，直線PO交⊙O于點E，F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO交⊙O于點C，連結(jié)BC，AF．

（1）求證：直線PA為⊙O的切線；

（2）若BC＝6，∶=1∶2，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，連接OB ．

∵  PB是⊙O的切線，

∴ ∠PBO＝90°．

∵ OA＝OB，BA⊥PO于D，

∴ AD＝BD，∠POA＝∠POB．

又∵ PO＝PO，

∴ △PAO≌△PBO．

∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．

∴ 直線PA為⊙O的切線．          ………………..2分

（2）∵ OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，

∴ OD＝BC＝3．

設(shè)AD＝x．

∵∶=1∶2，

∴ FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．

在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得(2x－3)²＝x²＋3²．

解之得，x₁＝4，x₂＝0（不合題意，舍去）．

∴ AD＝4，OA＝2x－3＝5．

           即⊙O的半徑的長5．               ………………..5分