Question

如圖；已知AB是⊙O的直徑，PB⊥AB，PC是⊙O的切線，切點為C．
（1）求證；AC∥OP；
（2）CO的延長線交PB延長線于E交⊙O于F，若⊙O的半徑為3，PO=，求EF的長．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OC，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°，
在Rt△PCO和Rt△PBO中，

∴Rt△PCO≌RtPBO（HL），
∴∠COP=∠BOP，
∴∠A=∠COB=∠POB，
∴AC∥OP；

（2）解：方法一：
若⊙O的半徑為3，PO=3，
∴PB=PC=6，
∵∠E=∠E，∠PCE=∠OBE=90°，
∴△EBO∽△ECP，
∴==，令OE=x，則BE=，CE=x+3，
∴=，
解得：x=5，
∴EF=OE-3=5-3=2；
方法二：
由條件可得出：△EBO∽△ECP，
∵OB=OC=3，PO=3，
∴PB=PC=6，
∴=，
∴=，
S_△OPC=S_△OBP=9，
∴=，
∴S_△EBO=6，
∴BE=4，
∴OE=5，
∴EF=2．
分析：（1）首先得出Rt△PCO≌RtPBO，進(jìn)而得出∠A=∠COB=∠POB，即可得出答案；
（2）首先證明△EBO∽△ECP，即可得出==，進(jìn)而求出即可．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△EBO∽△ECP是解題關(guān)鍵．