Question

在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，P是AB上的點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作PC的垂線交過(guò)B所作AB的垂線于Q點(diǎn)．求證：PD丄QD．

Answer 1

證明：如圖，設(shè)AQ交CP于E點(diǎn)，連ED，EB，PQ，
∵AD為斜邊BC上的高，AE⊥CP，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△BCA，Rt△ACE∽R(shí)t△PCA，
∴AC²=CD•CB，AC²=CE•CP，
∴CD•CB=CE•CP，
∴△CDE∽△CPB，
∴∠CED=∠CBP，
∴B，D，E，P四點(diǎn)共圓，
∴∠1=∠5+∠6，∠5=∠4，
又∵BQ⊥AB，
∴∠QEP=∠PBQ=90°，
∴B，Q，E，P四點(diǎn)共圓，
∴∠1=∠2+∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠6，
∴D，Q，B，P四點(diǎn)共圓，
而∠PBQ=90°，
∴∠PDQ=90°，
即PD⊥DQ．
分析：設(shè)AQ交CP于E點(diǎn)，連ED，EB，PQ，由AD為斜邊BC上的高，AE⊥CP，易得Rt△ACD∽R(shí)t△BCA，Rt△ACE∽R(shí)t△PCA，得到AC²=CD•CB，AC²=CE•CP，則CD•CB=CE•CP，得到△CDE∽△CPB，有∠CED=∠CBP，得到B，D，E，P四點(diǎn)共圓，則有∠1=∠5+∠6，∠5=∠4；又
B，Q，E，P四點(diǎn)共圓，得∠1=∠2+∠3，∠2=∠4，所以有∠3=∠6，得到D，Q，B，P四點(diǎn)共圓，即可得到∠PDQ=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．