(2013•珠海)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上,且長分別為m、4m(m>0),D為邊AB的中點(diǎn),一拋物線l經(jīng)過點(diǎn)A、D及點(diǎn)M(-1,-1-m).
(1)求拋物線l的解析式(用含m的式子表示);
(2)把△OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點(diǎn)E,若拋物線l與線段CE相交,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)在滿足(2)的條件下,求出拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)拋物線l的解析式為y=ax2+bx+c,將A、D、M三點(diǎn)的坐標(biāo)代入,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解;
(2)設(shè)A′D與x軸交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N.根據(jù)軸對稱及平行線的性質(zhì)得出DQ=OQ=x,則A′Q=2m-x,OA′=m,在Rt△OA′Q中運(yùn)用勾股定理求出x,得出A′點(diǎn)坐標(biāo),運(yùn)用待定系數(shù)法得到直線OA′的解析式,確定E點(diǎn)坐標(biāo)(4m,-3m),根據(jù)拋物線l與線段CE相交,列出關(guān)于m的不等式組,求出解集即可;
(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合(2)中求出的實(shí)數(shù)m的取值范圍,即可求解.
解答:解:(1)設(shè)拋物線l的解析式為y=ax2+bx+c,
將A(0,m),D(2m,m),M(-1,-1-m)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入,
c=m
4m2a+2mb+c=m
a-b+c=-1-m
,解得
a=-1
b=2m
c=m
,
所以拋物線l的解析式為y=-x2+2mx+m;

(2)設(shè)A′D與x軸交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N.
∵把△OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,
∴△OAD≌△OA′D,OA=OA′=m,AD=A′D=2m,∠OAD=∠OA′D=90°,∠ADO=∠A′DO,
∵矩形OABC中,AD∥OC,
∴∠ADO=∠DOQ,
∴∠A′DO=∠DOQ,
∴DQ=OQ.
設(shè)DQ=OQ=x,則A′Q=2m-x,
在Rt△OA′Q中,∵OA′2+A′Q2=OQ2
∴m2+(2m-x)2=x2,
解得x=
5
4
m.
∵S△OA′Q=
1
2
OQ•A′N=
1
2
OA′•A′Q,
∴A′N=
m•
3
4
m
5
4
m
=
3
5
m,
∴ON=
OA2-A′N2
=
4
5
m,
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為(
4
5
m,-
3
5
m),
易求直線OA′的解析式為y=-
3
4
x,
當(dāng)x=4m時(shí),y=-
3
4
×4m=-3m,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(4m,-3m).
當(dāng)x=4m時(shí),-x2+2mx+m=-(4m)2+2m•4m+m=-8m2+m,
即拋物線l與直線CE的交點(diǎn)為(4m,-8m2+m),
∵拋物線l與線段CE相交,
∴-3m≤-8m2+m≤0,
∵m>0,
∴-3≤-8m+1≤0,
解得
1
8
≤m≤
1
2
;

(3)∵y=-x2+2mx+m=-(x-m)2+m2+m,
1
8
≤m≤
1
2
,
∴當(dāng)x=m時(shí),y有最大值m2+m,
又∵m2+m=(m+
1
2
2-
1
4
,
∴當(dāng)
1
8
≤m≤
1
2
時(shí),m2+m隨m的增大而增大,
∴當(dāng)m=
1
2
時(shí),頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置,m2+m=(
1
2
2+
1
2
=
3
4

故此時(shí)拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)為(
1
2
,
3
4
).
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,軸對稱的性質(zhì),勾股定理,兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,二次函數(shù)、矩形的性質(zhì),解不等式組等知識(shí),綜合性較強(qiáng),有一定難度.(2)中求出A′點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
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(2013•珠海)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn),將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P′),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí),點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上,此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E.
(1)求證:∠CBP=∠ABP;
(2)求證:AE=CP;
(3)當(dāng)
CP
PE
=
3
2
,BP′=5
5
時(shí),求線段AB的長.

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1
2
1
2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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求證:BC=DC.

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