Question

（2010•白云區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）求證：點M在AB、CD邊中點的連線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩直線平行，同旁內角互補，∠DAB+∠CBA=180°，再根據角平分線的定義可以整理出∠2+∠3=90°，利用三角形內角和等于180°求出∠AMB=90°，所以AE⊥BF；
（2）先設AB、CD的中點分別為G、H，連接MG，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊對等角的性質得到∠2=∠5，所以GM∥AD，又GH是梯形ABCD的中位線，根據梯形中位線定理GH∥AD，而過點G有且只有一條直線與AD平行，所以點M在GH上．
解答：（1）證明：如圖，∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，（1分）
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，（2分）
即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，
2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，（3分）
而∠2+∠3+∠AMB=180°，
∴∠AMB=90°，（4分）
即AE⊥BF；

（2）證明：如圖，設AB、CD的中點分別為G、H，連接MG，（5分）
∵G為Rt△ABM斜邊AB的中點，（6分）
∴MG=AG=GB，（7分）
∴∠2=∠5，（8分）
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．（9分）
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是以AD、BC為底的梯形，
又G、H分別為兩腰AB、DC的中點，
由梯形中位線定理可知，GH∥AD，而證得GM∥AD，（10分）
根據平行公理可知，過點G與AD平行的直線只有一條，（11分）
∴M點在GH上，
即M點在AB、CD邊中點的連線上．（12分）
點評：（1）利用兩直線平行，同旁內角互補的性質和角平分線的定義求解，熟練掌握平行線的性質和角平分線的定義是解題的關鍵；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質；等邊對等角的性質；內錯角相等，兩直線平行的性質；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中平行公理的運用比較關鍵．