如圖,在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板,其頂點(diǎn)為A(-1,0),B(0,),O(0,0),將此三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′O.
(1)如圖,一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,B′,求該拋物線解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求使四邊形PBAB′的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積的最大值.

【答案】分析:(1)已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),就可以得到OB的長(zhǎng),而OB′=OB=,因而B(niǎo)′的坐標(biāo)就可以得到是(,0),已知A,B,B′的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式.
(2)S四邊形PBAB′=S△BAO+S△PBO+S△POB′,△OAB的面積是一個(gè)定值,不變,OB,OB′的長(zhǎng)度可以求出,△BAO的邊OB上的高是P點(diǎn)的橫坐標(biāo),而△POB′,OB′邊上的高是P的縱坐標(biāo),設(shè)P(x,y),則△BAO和△POB′的面積都可以用x,y表示出來(lái),從而得到函數(shù)解析式.使四邊形PBAB′的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),就是求函數(shù)的最值問(wèn)題,可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到.
解答:解:(1)∵拋物線過(guò)A(-1,0),B′(,0)
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-)(a≠0)
又∵拋物線過(guò)B(0,),
∴將坐標(biāo)代入上解析式得
=a×(-
即a=-1
∴y=-(x+1)(x-
即滿足件的拋物線解析式為y=-x2+(-1)x+

(2)(解法一):如圖1
∵P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
設(shè)P(x,y)則x>0,y>0
P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=-x2+(-1)x+
連接PB,PO,PB′
∴S四邊形PBAB′=S△BAO+S△PBO+S△POB′
=+x+y=(x+y+1)
=[x-x2+(-1)x++1]=[-(x-2+]
當(dāng)x=時(shí),S四邊形PBAB′最大,
此時(shí),y=.即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()時(shí),
S四邊形PBAB′最大,最大面積為
(解法二):如圖2,連接BB′
∵P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
∴S四邊形PBAB′=S△ABB′+S△PBB′,且△ABB′的面積為定值
∴S四邊形PBAB′最大時(shí)S△PBB′必須最大
∵BB′長(zhǎng)度為定值
∴S△PBB′最大時(shí)點(diǎn)P到BB′的距離最大
即將直線BB′向上平移到與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí),
P到BB′的距離最大.
設(shè)與直線BB′平行的直線l的解析式為y=-x+m
聯(lián)立
得x2-x+m-=0
令△=(2-4(m-)=0
解得m=+
此時(shí)直線l的解析式為y=-x++

解得
∴直線l與拋物線唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為P(
設(shè)l與y軸交于E,則BE=+-=
過(guò)B作BF⊥l于F
在Rt△BEF中,∠FEB=45°
∴BF=sin45°=
過(guò)P作PG⊥BB′于G
則P到BB′的距離d=BF=
此時(shí)四邊形PBAB′的面積最大
∴S四邊形PBAB′的最大值=AB′•OB+BB′•d=+1)×+××=
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,以及函數(shù)的最值,求最值問(wèn)題的基本思路就轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
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,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
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k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫出結(jié)果).

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