Question

如圖所示，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，P是BC邊的中點(diǎn)，一束光線自P發(fā)出射到AC上的P₁后，依次反射到AB、BC上的點(diǎn)P₂和P₃，且1＜BP₃＜（反射角等于入射角），則P₁C的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用光的反射定律及等邊三角形的性質(zhì)證明△PP₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到用含P₃B的代數(shù)式表示P₁C的式子，然后由
1＜BP₃＜，即可求出P₁C長(zhǎng)的取值范圍．
解答：解：∵反射角等于入射角，
∴∠PP₁C=∠P₂P₁A=∠P₂P₃B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△PP₁C∽△P₂P₁A∽△P₂P₃B，
∴==，
設(shè)P₁C=x，P₂A=y，則P₁A=2-x，P₂B=2-y．
∴==，
∴，
∴x=（2+P₃B）．
又∵1＜BP₃＜，
∴1＜x＜，
即P₁C長(zhǎng)的取值范圍是：1＜P₁C＜．
故答案為1＜P₁C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，在解題時(shí)要根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，難度較大．