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精英家教網如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知拋物線經過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),拋物線對稱軸l與x軸相交于點M.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)點P在拋物線上,且以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數,請你直接寫出點P的坐標;
(3)連接AC.探索:在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請你求出點N的坐標;若不存在,請你說明理由.
分析:(1)拋物線經過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函數的解析式,則可求得拋物線的對稱軸;
(2)由已知,可求得P(6,4),由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3,又知點P的坐標中x>5,所以MP>2,AP>2;因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意,所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況,則分析求解即可求得答案;
(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.設N點的橫坐標為t,此時點N(t,
4
5
t2-
24
5
t+4)(0<t<5),再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長與△ACN的面積,由二次函數最大值的問題即可求得答案.
解答:解:(1)根據已知條件可設拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),
把點A(0,4)代入上式得:a=
4
5

∴y=
4
5
(x-1)(x-5)=
4
5
x2-
24
5
x+4=
4
5
(x-3)2-
16
5
,
∴拋物線的對稱軸是:x=3;

(2)P點坐標為:(6,4),
由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3,
又∵點P的坐標中x>5,
∴MP>2,AP>2;
∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意,
精英家教網∴四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況,
在Rt△AOM中,AM=
OA2+OM2
=
42+32
=5,
∵拋物線對稱軸過點M,
∴在拋物線x>5的圖象上有關于點A的對稱點與M的距離為5,
即PM=5,此時點P橫坐標為6,即AP=6;
故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續(xù)的正整數3、4、5、6成立,
即P(6,4);

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.
設N點的橫坐標為t,此時點N(t,
4
5
t2-
24
5
t+4)(0<t<5),精英家教網
過點N作NG∥y軸交AC于G;作AM⊥NG于M,
由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=-
4
5
x+4;
把x=t代入得:y=-
4
5
t+4,則G(t,-
4
5
t+4),
此時:NG=-
4
5
x+4-(
4
5
t2-
24
5
t+4)=-
4
5
t2+4t,
∵AM+CF=CO,
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=
1
2
AM×NG+
1
2
NG×CF=
1
2
NG•OC=
1
2
(-
4
5
t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-
5
2
2+
25
2
,
∴當t=
5
2
時,△CAN面積的最大值為
25
2

由t=
5
2
,得:y=
4
5
t2-
24
5
t+4=-3,
∴N(
5
2
,-3).
點評:此題考查了待定系數法求二次函數的解析式,勾股定理以及三角形面積的最大值問題.此題綜合性很強,難度很大,解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為( 。

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(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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