Question

已知二次函數(shù)y=（m-1）x²+4x+m²-1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
（1）請(qǐng)求出m的值及圖象與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若把（1）中求得的函數(shù)的圖象沿其對(duì)稱軸上下平行移動(dòng)，使頂點(diǎn)移到直線y=

1

2

x上，請(qǐng)求出此時(shí)函數(shù)的解析式；
（3）若在（1）中求得的函數(shù)的圖象上，已知有一點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且點(diǎn)E和點(diǎn)F的橫坐標(biāo)都為-2，能否在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得PE+PF最短？若能，請(qǐng)求出這個(gè)最短距離；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=（m-1）x²+4x+m²-1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，即可得m²-1=0，又由m-1≠0，即可求得m的值，求得此二次函數(shù)的解析式，繼而求得與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）首先求得（1）中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由把（1）中求得的函數(shù)的圖象沿其對(duì)稱軸上下平行移動(dòng)，可得橫坐標(biāo)不變，又由頂點(diǎn)移到直線y=

1

2

x上，即可求得新二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得此時(shí)函數(shù)的解析式；
（3）首先求得E與F的坐標(biāo)，再確定P點(diǎn)的坐標(biāo)（連接E′F，交拋物線對(duì)稱軸x=1于P點(diǎn)，此時(shí)即為所求），再利用勾股定理求解即可求得這個(gè)最短距離．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=（m-1）x²+4x+m²-1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
∴m²-1=0，
解得：m=±1，
∵m-1≠0，
∴m=-1　　　　　　　　　　　　　　　　　�。�3分）
∴此二次函數(shù)的解析式的解析式為：y=-2x²+4x，
∵-2x²+4x=0，
解得：x₁=0，x₂=2，
∴圖象與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）；　　（1分）

（2）∵y=-2x²+4x=-2（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴y=

1

2

x=

1

2

，
∴新函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

1

2

），
∴此時(shí)函數(shù)的解析式為y=-2（x-1）²+

1

2

；　　�。�4分）

（3）能在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得PE+PF最短．
∵點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且點(diǎn)E和點(diǎn)F的橫坐標(biāo)都為-2，
∴E（-2，0），
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-2×（-2）²+4×（-2）=-16，
∴F（-2，-16），
取E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)E′（4，0），
連接E′F，交拋物線對(duì)稱軸x=1于P點(diǎn)，此時(shí)即為所求，
∵PE+PF=PE′+PF=E′F=

EE′2+EF2

=

162+62

=2

73

；
∴最短距離為2

73

（4分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的平移，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系以及最短距離問(wèn)題．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．