Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+3與x軸的交點(diǎn)為A、B，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)．點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線上的一點(diǎn)，且四邊形ABCD以AB為一底的梯形，若此梯形ABCD的面積為9．
（1）求點(diǎn)D、A、B的坐標(biāo)；并求此拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5：2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在 （1）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先分a＞0和a＜0兩種情況進(jìn)行討論，先求出拋物線的對稱軸以及與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)梯形的面積求出AB的長，即可得出A、B的坐標(biāo)及拋物線的解析式．
（2）本題需先設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后得出點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點(diǎn)E′的坐標(biāo)，最后求出直線AE′的解析式從而得出拋物線的對稱軸與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即是點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+3的對稱軸為x=-2，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)D點(diǎn)（0，3），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，3）
∴CD=8，梯形的高為3
∵S_梯形ABCD=9
∴

(CD+AB)3

2

=9
∴

(4+AB)×3

2

=9
∴AB=2
∴A的坐標(biāo)為（-1，0）
∴B的坐標(biāo)為（-3，0）
把A（-1，0）代入y=ax²+4ax+3得；
∴y=x²+4x+3．

（2）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線y=x²+4x+3時(shí)
設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2m，則E的縱坐標(biāo)為5m
把（-2m，5m）代入拋物線得：5m=（-2m）²+4×（-2m）+3
解得；m₁=3，m₂=

1

4

∴E的坐標(biāo)為（-6，15）（舍去）或（-

1

2

，

5

4

）
∴點(diǎn)E關(guān)于x=-2對稱的點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（-

7

2

，

5

4

）
∴直線AE′的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

∴P的坐標(biāo)為（-2，

1

2

）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想把二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與其它知識相結(jié)合 是本題的關(guān)鍵．