Question

（2013•倉(cāng)山區(qū)模擬）如圖，⊙M與x軸相切與原點(diǎn)，平行于y軸的直線交⊙M于P、Q兩點(diǎn)，P點(diǎn)在Q點(diǎn)的下方，若點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

2

，2-

2

)，PQ=2

2

．
（1）求⊙M的半徑R；
（2）求圖中陰影部分的面積（精確到0.1）；
（3）已知直線AB對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)y=x+2+2

2

，求證：AB是⊙M的切線．

Answer 1

分析：（1）過(guò)M作MN⊥PQ于N，由垂徑定理求出PN，求出NE，即可得出答案；
（2）連接MQ，MP，分別求出扇形QMP的面積和三角形QMP的面積，即可求出答案；
（3）過(guò)M作MT⊥AB于T，證△MTB∽△AOB，得出比例式，求出MT=2，即可得出答案．

解答：解：（1）
過(guò)M作MN⊥PQ于N，
由垂徑定理得：PN=QN=

1

2

PQ=

1

2

×2

2

=

2

，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

2

，2-

2

)，
∴NE=2-

2

+

2

=2，
∵M(jìn)N⊥PQ，MO⊥OE，PQ⊥OE，
∴∠MOE=∠OEN=∠MNP=90°，
∴四邊形MOEN是矩形，
∴OM=NE=2，
即⊙M的半徑是2；

（1）解：
y=x+2+2

2

，
當(dāng)x=0時(shí)y=2+2

2

，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2-2

2

，
即AO=OB=2+2

2

，
由勾股定理得：AB=2

2

+4，
連接MQ，MP，
在Rt△PNM中，PM=MO=2，PN=

2

，由勾股定理得：MN=

2

，
即MN=NP，
∵∠MNP=90°，
∴∠NMP=45°，
同理：∠QMN=45°，
∴∠QMP=90°，
∴陰影部分的面積S=S_扇形QMP-S_△QMP=

90π•22

360

-

1

2

×2

2

×

2

=π-2；
（3）證明：

過(guò)M作MT⊥AB于T，
∵∠BOA=90°，
∴∠BTM=∠BOA，
∵∠ABO=∠MBT，
∴△BTM∽△BOA，
∴

BO

AB

=

OT

OA

，
∴

2+2 2

2 2 +4

=

MT

2+2 2

，
MT=2，
即MT⊥AB，MT為半徑，
∴AB是⊙M的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．