Question

【題目】通常情況下，用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，可以得到一個恒等式，

①如圖1，根據圖中陰影部分的面積可表示為__________，還可表示為___________，可以得到的恒等式是___________.

②類似地，用兩種不同的方法計算同一各幾何體的體積，也可以得到一個恒等式，如圖2是邊長為的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊。用不同方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個恒等式，這個恒等式是____________.

Answer 1

【答案】①（a+b）2-（a-b）2；4ab；（a+b）2-（a-b）2=4ab； ②（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．

【解析】

①根據面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種是用大正方形面積-空白部分正方形面積；另一種是將陰影部分的四個長方形面積相加，可得等式（a+b）2-（a-b）2=4ab；

②根據體積的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一種是將大正方體棱長表示出來求體積；另一種是將各個小的長方體體積加起來，可得等式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．

解：①∵陰影部分的面積=大正方形的面積-中間小正方形的面積即：（a+b）2-（a-b）2，

又∵陰影部分的面積由4個長為a，寬為b的小正方形構成 即：4ab，

∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；

故答案為：（a+b）2-（a-b）2；4ab；（a+b）2-（a-b）2=4ab；

②∵八個小正方體和長方體的體積之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

故答案為：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．