Question

如圖，過點A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點B，以原點O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點C、D，拋物線y=x²+px+q經(jīng)過點B、C．
（1）求p、q的值；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸相交于點E，連接CE并延長與⊙O相交于點F，求EF的長；
（3）記⊙O與x軸負半軸的交點為G，過點D作⊙O的切線與CG的延長線相交于點H．點H是否在拋物線上？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點B，從而求出B點的坐標(biāo)，以及C點的坐標(biāo)，將B，C分別代入即可求出p，q的值；
（2）運用配方法求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，再利用勾股定理求出CE的長，由Rt△CFD∽Rt△COE，求出EF的長；
（3）首先求出直線CG為：y=-x-1，進而求出點H的坐標(biāo)為（-2，1）．代入解析式即可．

解答：解：
（1）∵點A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點B點，
∴B（1，1），
∵以原點O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點C、點A（1，0），
∴C（0，-1）．
代入y=x²+px+q，得，p=1，q=-1．

（2）由y=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
得CE=

OE2+1

=

5

2

．
連接DF．由Rt△CFD∽Rt△COE，
得

CD

CE

=

CF

CO

．
∴CF=

4 5

5

．
∴EF=CF-CE=

3 5

10

．

（3）設(shè)過點C、G的直線為y=kx+b．
將點C（0，-1），G（-1，0）代入，
得直線CG為：y=-x-1．
過點D作⊙O的切線與CG的延長線相交于點H．
∵DH平行于x軸，∴點H的縱坐標(biāo)為1．
將y=1代入y=-x-1，得x=-2．
∴點H的坐標(biāo)為（-2，1）．
又當(dāng)x=-2時，y=x²+x-1=1，
∴點H在拋物線y=x²+x-1上．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．