【題目】如圖所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,點E、F分別在菱形的邊BCCD上運動,且∠EAF=60°E、F不與B、CD重合,連接ACEFP點.

(1)證明:不論E、FBCCD上如何運動,總有BE=CF;

(2)BE=1時,求AP的長;

(3)當點E、FBC、CD上滑動時,分別探討四邊形AECFCEF的面積是否發(fā)生變化?如果不變,直接寫出這個定值;如果變化,是最大值還是最小值?并直接寫出最大(或最小)值.

【答案】(1) 見解析;(2) AP=(3)四邊形AECF的面積不變,定值為;CEF的面積變化最大值.

【解析】

1)先求證AB=AC,進而求證△ABC△ACD為等邊三角形,得∠4=60°,AC=AB進而求證△ABE≌△ACF,即可求得BE=CF;

2)首先利用勾股定理得出AE的長,進而得出△AEF是等邊三角形,進而得出△APF∽△AFC,進而求出AP的長;

3)根據(jù)△ABE≌△ACF可得SABE=SACF,故根據(jù)S四邊形AECF= SABC即可解題;當正三角形AEF的邊AEBC垂直時,邊AE最短.△AEF的面積會隨著AE的變化而變化,且當AE最短時,正三角形AEF的面積會最小,又根據(jù)SCEF=S四邊形AECF-SAEF,則△CEF的面積就會最大.

1)證明:如圖1,

∵菱形ABCD,∠BAD=120°

∵∠1+EAC=60°,∠3+EAC=60°,

∴∠1=3,

∵∠BAD=120°,

∴∠ABC=60°,

∴△ABCACD為等邊三角形

∴∠4=60°,AC=AB,

∴在ABEACF中,

,

∴△ABE≌△ACFASA),

BE=CF

2)解:如圖2,過點EEMAB于點M,

BE=1,∠B=60°,∠BME=90°,

BM=,則ME=,

AM=,

AE=,

由(1)得:AE=AF

又∵∠EAF=60°,

∴△AEF是等邊三角形,

AF=,∠AFP=60°,

∴∠AFP=4,

又∵∠3=3,

∴△APF∽△AFC,

,

,

解得:AP=;

3)解:四邊形AECF的面積不變,△CEF的面積發(fā)生變化.

理由:由(1)得△ABE≌△ACF,

SABE=SACF,

S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC,是定值,

如圖3,作AHBCH點,

BH=2,

S四邊形AECF=SABC=BCAH=BC,

垂線段最短可知,當正三角形AEF的邊AEBC垂直時,邊AE最短.

△AEF的面積會隨著AE的變化而變化,且當AE最短時,

正三角形AEF的面積會最小,

SCEF=S四邊形AECF-SAEF,則△CEF的面積就會最大.

SCEF=S四邊形AECF-SAEF=

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