Question

【題目】如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上運動，且∠EAF=60°且E、F不與B、C、D重合，連接AC交EF于P點．

(1)證明：不論E、F在BC、CD上如何運動，總有BE=CF；

(2)當BE=1時，求AP的長；

(3)當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出這個定值；如果變化，是最大值還是最小值？并直接寫出最大(或最小)值．

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) AP=，(3)四邊形AECF的面積不變，定值為；△CEF的面積變化最大值.

【解析】

（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）首先利用勾股定理得出AE的長，進而得出△AEF是等邊三角形，進而得出△APF∽△AFC，進而求出AP的長；

（3）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF= S△ABC即可解題；當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則△CEF的面積就會最大．

（1）證明：如圖1，

∵菱形ABCD，∠BAD=120°，

∵∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC、△ACD為等邊三角形

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF．

（2）解：如圖2，過點E作EM⊥AB于點M，

∵BE=1，∠B=60°，∠BME=90°，

∴BM=，則ME=，

∴AM=，

∴AE=，

由（1）得：AE=AF，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AF=，∠AFP=60°，

∴∠AFP=∠4，

又∵∠3=∠3，

∴△APF∽△AFC，

∴，

∴，

解得：AP=；

（3）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

則S△ABE=S△ACF，

故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，

如圖3，作AH⊥BC于H點，

則BH=2，

S四邊形AECF=S△ABC=BCAH=BC，

由“垂線段最短”可知，當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．

故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，

正三角形AEF的面積會最小，

又S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則△CEF的面積就會最大．

則S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF=．