Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，點E為AB上一點，且AD=AE，CD=CE，點F在CE上，且∠ADC=∠CFD．
（1）若CE平分∠BCD，求證：CE=2BE；
（2）求證：∠DCE=90°-2∠CDF．

Answer 1

證明：（1）連接AC，
∵在△CDA和△CEA中，
，
∴△CDA≌△CEA（SSS），
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，
∴∠ECA=∠DCE，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAB=90°，∠DAC=∠ACB，
∵∠DAC=∠EAC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠ECA=∠DCE=∠EBC，
∴∠BCE=30°，
∵∠B=90°，
∴CE=2BE．

（2）由（1）得：△CDA≌△CEA，
∴∠ADC=∠AEC，
∵∠ADC=∠CFD，
∴∠AEC=∠CFD，
∴AE∥DF，
由（1）得：∠DAB=90°，
∴∠ADF=90°，
∵∠DCE+∠CFD+∠CDF=180°，
∴∠DCE=180°-∠CDF-∠CFD=180°-∠CDF-∠AEC=180°-∠CDF-∠ADC，
又∵∠ADC=90°+∠CDF，
∴∠DCE=180°-∠CDF-90°-∠CDF，
∴∠DCE=90°-2∠CDF．
分析：（1）連接AC，證△CDA≌△CEA，推出∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，求出∠ECA=∠DCE，求出∠BAC=∠ACB=45°和∠ECA=∠DCE=∠EBC，求出∠BCE=30°即可；
（2）求出∠ADC=∠AEC=∠CFD，推出AE∥DF，求出∠ADF=90°，求出∠DCE+∠CFD+∠CDF=180°，∠DCE=180°-∠CDF-∠ADC，∠ADC=90°+∠CDF，代入求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，直角梯形，平行線的性質和判定，三角形的內角和定理，含30度角的直角三角形性質等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．