精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH.則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí),求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M,使△MBC中BC邊上的高為7
2
?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)由已知設(shè)OA=m,則OB=OC=5m,AB=6m,由S△ABC=
1
2
AB×OC=15,可求m的值,確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo),由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線交點(diǎn)式,將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可;
(2)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m2-4m-5),拋物線對稱軸為x=2,根據(jù)2|m-2|=EF,列方程求解;
(3)存在.因?yàn)镺B=OC=5,△OBC為等腰直角三角形,直線BC解析式為y=x-5,則直線y=x+9或直線y=x-19與BC的距離為7
2
,將直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立,求M點(diǎn)的坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)∵OA:OB=1:5,OB=OC,
設(shè)OA=m,則OB=OC=5m,AB=6m,
由S△ABC=
1
2
AB×OC=15,得
1
2
×6m×5m=15,解得m=1(舍去負(fù)值),
∴A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-5),將C點(diǎn)坐標(biāo)代入,得a=1,
∴拋物線解析式為y=(x+1)(x-5),
即y=x2-4x-5;精英家教網(wǎng)

(2)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(n,n2-4n-5),拋物線對稱軸為x=2,
由2(n-2)=EF,得2(n-2)=-(n2-4n-5)或2(n-2)=n2-4n-5,
解得n=1±
10
或n=3±
10
,
∵n>0,
∴n=1+
10
或n=3+
10
,
邊長EF=2(n-2)=2
10
-2或2
10
+2;

(3)存在.
由(1)可知OB=OC=5,
∴△OBC為等腰直角三角形,即B(5,0),C(0,-5),
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,將B與C代入得:
5k+b=0
b=-5

解得:
k=1
b=-5
,
則直線BC解析式為y=x-5,
依題意△MBC中BC邊上的高為7
2
,
∴直線y=x+9或直線y=x-19與BC的距離為7
2

聯(lián)立
y=x+9
y= x2-4x-5
,
y=x-19
y= x2-4x-5
,
解得
x=-2
y=7
x=7
y=16
,
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,7),(7,16).
點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是采用形數(shù)結(jié)合的方法,準(zhǔn)確地用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長,根據(jù)圖形的特點(diǎn),列方程求解,注意分類討論.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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