Question

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的長分別為c、a、b．求△ABC的內(nèi)切圓的半徑r．

Answer 1

答案：
解析：

分析：這是一道典型的三角形內(nèi)切圓問題，可以從兩個(gè)不同的角度入手，來解答它． 　　解法一：我們可以利用三角形的面積公式來進(jìn)行求解，因?yàn)?/FONT>S△ABC＝AC·BC＝ab；若我們連接AO、BO、CO(如圖)，這樣就會(huì)將△ABC分成了△AOB、△BOC、△AOC．因?yàn)椤?/FONT>O內(nèi)切于△ABC，所以⊙O的半徑r為△AOB、△BOC、△AOC的高，這樣就有S△AOB＝rc、S△BOC＝ra、S△AOC＝rb，即S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝rc＋ra＋rb；所以ab＝rc＋ra＋rb，整理后得r＝． 　　解法二：這道例題我們同樣可以利用切線長來解決．連接點(diǎn)O與△ABC的三邊切點(diǎn)OD、OE、OF(如圖)，根據(jù)切線性質(zhì)定理有OE＝OF＝r，所以四邊形OECF是正方形，即CE＝CF＝r．又根據(jù)切線長定理得AD＝AF，且AF＝AC－r＝b－r，則AD＝b－r，同理BD＝a－r．又因?yàn)?/FONT>AB＝AD＋BD，即c＝(b－r)＋(a－r)，由此可推出r＝． 　　通過以上兩個(gè)求解過程，我們發(fā)現(xiàn)，同一問題兩個(gè)結(jié)論．這是怎么回事，難道是我們的計(jì)算出錯(cuò)了嗎？其實(shí)這兩個(gè)結(jié)論是一致的，只是采用了兩種不同的表達(dá)方式而已． 　　首先，我們可找一些符合題意的數(shù)值代入檢驗(yàn)一下，例如，3、4、5；5、12、13；1、1、等．同時(shí)，我們還可以通過比較它們的大小關(guān)系來證明這個(gè)問題，即．因?yàn)椤?/FONT>ABC是直角三角形，所以c2＝a2＋b2，也就是說上式結(jié)果應(yīng)該等于0．從而說明，所以兩個(gè)結(jié)論都是正確的． 　　那么，到底是什么原因造成這種情況的呢？其實(shí)造成一題兩解(結(jié)論)的原因，就在于圖形本身，正是因?yàn)椤?/FONT>ABC為直角三角形，其三邊長a、b、c本身就存在等量關(guān)系所以我們才會(huì)得到兩個(gè)正確的解題思路，從而得出兩個(gè)結(jié)論． 　　同學(xué)們，上例這種情況的出現(xiàn)并不多見，在這里引以此例，就是希望同學(xué)們?cè)谝院蟮臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中謹(jǐn)慎、仔細(xì)．因?yàn)�，�?shù)學(xué)中的每一個(gè)題設(shè)，對(duì)于我們解題而言都是至關(guān)重要的．