Question

（2008•衡陽）如圖，在矩形ABCD中（AB＞AD），E為線段AD上的一個動點（點E不與A，D兩點重合），連接FC，過E點作EF⊥EC交AB于F，連接FC．
（1）△AEF與△DCE是否相似？并說明理由；
（2）E點運動到什么位置時，EF平分∠AFC，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）相似．用∠FEC=90°，可得到△AEF和△DCE一對銳角相等，再加上一對直角相等，可證相似．
（2）有EF平分∠AFC，可得∠AFE=∠EFC，那么兩角在各自直角三角形里的正切值相等，可，再由（1）知△AEF∽△DCE，又可得到比例線段：，兩式聯(lián)合可得，，就有AE=DE，即E是AD中點時，EF平分∠AFC．
解答：解：（1）∵∠FEC=90°∴∠AEF+∠DEC=90°，
而ABCD是矩形，∴∠AFE+∠AEF=90°，∴∠DEC=∠AFE，
又∵∠A=∠D，∴△AEF∽△DCE．

（2）∵EF平分∠AFC，∴∠AFE=∠EFC，∴，
同理可得，tan∠AFE=，∴，
又∵△AEF∽△DCE，∴，∴
∴AE=DE，∴E是AD的中點時，AE平分∠AFC．
點評：本題利用了相似三角形的判定和性質，以及等角的正切相等等知識．