Question

（2013•綠園區(qū)模擬）一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（0，4），O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，線段OA、AB的中點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，P為直線OB上一動(dòng)點(diǎn)，
（1）直接寫出直線AB的解析式

y=-2x+4

．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PCD的面積是否發(fā)生變化，說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PCD的周長是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，求出△PCD的最小周長及此時(shí)周長最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）直接寫出△PCD為等腰三角形時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b并計(jì)算出k、b的值，從而得出解析式，然后驗(yàn)證（1，2）是否在函數(shù)圖象上即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和C、D是線段OA、AB的中點(diǎn)，得出點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，求出CD的長，再根據(jù)CD∥y軸，得出點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離以及△PCD的CD邊上的高，從而求出三角形PCD的面積，即可得出△PCD的面積不發(fā)生變化；
（3）根據(jù)題意先取點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接DC′，即C′、P、D共線時(shí)，PC+PD的最小值是C′D，再根據(jù)△PCD的周長的最小值為C′D+CD，在直角三角形C′CD中，根據(jù)勾股定理，可得C′D的長，根據(jù)三角形的中位線定理已知點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可得出C′D的值，再根據(jù)CD=2，即可求出△PCD的周長的最小值．
（4）根據(jù)題目中所給的條件，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，共有5種情況，使△PCD為等腰三角形．

解答：解（1）∵y=kx+b過A（2，0），B（0，4），
∴將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b得，
 k=-2，b=4，
∴解析式為：y=-2x+4；
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2×1+4=2，所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上．

（2））△PCD的面積不發(fā)生變化；
∵A（2，0），B（0，4），C、D是線段OA、AB的中點(diǎn)，
∴C（1，0）、D（1，2），
∴CD=2，
又∵點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，CD∥y軸，
∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離總是1，及△PCD的CD邊上的高為n=1，
∴三角形PCD的面積s=

1

2

CD．h=

1

2

×2×1=1，
∴△PCD的面積不發(fā)生變化；

（3）△PCD的周長發(fā)生變化．
∵0（0，0），A（2，0），且C為AO的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
則C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′（-1，0），
又∵B（0，4），A（2，0）且D為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
連接C′D，設(shè)C′D的解析式為y=kx+b，
則

2=k+b 0=-k+b

，
解得：

k=1 b=1

，
∴y=x+1是DC′的解析式，
∵x=0，∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2

2

，
∵△PCD的周長的最小值為C′D+CD，CD=2，
∴△PCD的周長的最小值為2

2

+2；

（4）P（0，1）或P（0，2+

3

）或P（0，2-

3

）或P（0，

3

）或P（0，-

3

）．
故答案為：y=-2x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用及最短路線問題，用到的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)之間線段最短的定理以及勾股定理的運(yùn)用，本題有一定的難度，注意第（4）問點(diǎn)P有五種情況，不要漏項(xiàng)．