Question

一開口向上拋物線與x軸交于A（m﹣2，0），B（m+2，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C，且AC⊥BC．
（1）若m為常數(shù)，求拋物線解析式．
（2）點(diǎn)Q在直線y=kx+1上移動，O為原點(diǎn)，當(dāng)m=4時，直線上只存在一個點(diǎn)Q使得∠OQB=90°，求此時直線解析式．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣m）²﹣2，
∵AC⊥BC，
∴由拋物線的對稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，
又∵AB=4，
∴B（m+2，0）代入y=a（x﹣m）²﹣2，得a=．
∴解析式為：；
（2）當(dāng)m=4時，B（6，0），y=kx+1與x軸交于H，與y軸交于E（0，1），
設(shè)OB中點(diǎn)為G，以O(shè)B為直徑作⊙G，
當(dāng)直線與⊙G切于點(diǎn)Q時，只存在一個點(diǎn)Q使∠OQB=90°，
設(shè)HO=t，
∵HQ是⊙G切線，
∴∠EOH=HQG=90°，
又∵∠OHE=∠QHG，
∴△HOE∽△HQG，
∴=，
由QG=3，OE=1，代入得HQ=3t，
在△HQG中，HQ²+QG²=HG²，即（3t）²+3²=（t+3）²，
整理得4t²﹣3t=0，
解得：t=，或t=0（舍去），
所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（﹣，0），
把H（﹣，0）代入y=kx+1得：k=，
所以此時直線解析式為y=x+1．