Question

10、若p是質(zhì)數(shù)，并且8p²+1也是質(zhì)數(shù)，求證：8p²-p+2也是質(zhì)數(shù)．

Answer 1

分析：由于最小的質(zhì)數(shù)是2，故分別把2、3代入8p²+1找出符合條件的質(zhì)數(shù)，再把p＞3時的質(zhì)數(shù)分p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整數(shù)）兩種情況分別代入8p²+1檢驗，求出當(dāng)p＞3時的質(zhì)數(shù)均不適合8p²+1也是質(zhì)數(shù)，原命題得證．

解答：解：當(dāng)p=2時，8p²+1=33不是質(zhì)數(shù)，所以p＞2；
而當(dāng)p=3時，8p²+1=73是質(zhì)數(shù)，8p²-p+2=71也是質(zhì)數(shù)，符合題意．
當(dāng)p＞3時，質(zhì)數(shù)p就不是3的倍數(shù)，不妨設(shè)p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整數(shù)），
則8p²+1=8（3k+1）²+1=3（24k²+16k+3）是合數(shù)；
或8p²+1=8（3k+2）²+1=3（24k²+32k+11）也是合數(shù)．
所以p既不是3k+1型質(zhì)數(shù)，也不是3k+2型質(zhì)數(shù)．
因此p=3，所以原命題成立．

點評：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)，解答此題的關(guān)鍵是熟知最小的質(zhì)數(shù)是2，大于3的質(zhì)數(shù)可寫成p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整數(shù)）兩種形式．