Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿線段DA的方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線CB的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△APQ的面積；
（2）若四邊形ABQP為平行四邊形，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，先求出等腰梯形的高AE，當(dāng)t=2時(shí)可求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出△APQ的面積．
（2）如果四邊形ABQP為平行四邊形則可得出AP=BQ，從而可列出關(guān)于t的方程，解出即可得出t的值．
（3）將AP、AQ、PQ分別用t表示出來(lái)，然后討論，①AP=AQ，②AP=PQ，③AQ=PQ，分別解出t的值即可得出答案．

解答：解：（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，
∵AB=DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
又∵AB=DC=10，AD=15，BC=25，
∴BE=

1

2

（BC-AD）=5，在RT△ABE中，AE=

AB2-BE2

=5

3

，
當(dāng)t=2時(shí)，AP=AD-t=13，
∴△APQ的面積=

1

2

AP×AE=

65 3

2

．

（2）∵四邊形ABQP為平行四邊形，
∴AP=BQ，即AD-t=BC-2t，
∴15-t=25-2t，
解得：t=10秒．

（3）由題意可知：AP=15-t，
AQ=

(20-2t)2+(5 3 )2

；
PQ=

(5-t)2+(5 3 )2

；
①當(dāng)AP=AQ時(shí)，t不存在；
②當(dāng)AP=PQ時(shí)，即15-t=

(20-2t)2+(5 3 )2

，解得：t=

25

4

；
③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，即

(20-2t)2+(5 3 )2

=

(5-t)2+(5 3 )2

，解得：t₁=15（舍去），t₂=

25

3

；
綜上可知，當(dāng)t=

25

4

或t=

25

3

時(shí)，以A、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，也結(jié)合了一元二次方程的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，在解答此類動(dòng)點(diǎn)型題目時(shí)，要注意利用時(shí)間t表示出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)線段的幾何關(guān)系列出等式．