Question

小明和同桌小聰在課后做作業(yè)時(shí)，對課本中的一道作業(yè)題，進(jìn)行了認(rèn)真探索．

【作業(yè)題】如圖1，一個(gè)半徑為100m的圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，測得圓周角∠C=45°，求橋AB的長．

小明和小聰經(jīng)過交流，得到了如下的兩種解決方法：

方法一：延長BO交⊙O與點(diǎn)E，連接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=；

方法二：作AB的弦心距OH，連接OB， ∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB， ∴HB=，∴AB=．

感悟：圓內(nèi)接三角形的一邊和這邊的對銳角、圓的半徑（或直徑）這三者關(guān)系，可構(gòu)成直角三角形，從而把一邊和這邊的對銳角﹑半徑建立一個(gè)關(guān)系式．

（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請你解下面命題：如圖2，點(diǎn)A（3，0）、B（0，），C為直線AB上一點(diǎn)，過A、O、C的⊙E的半徑為2．求線段OC的長．

（2）問題拓展：如圖3，△ABC中，∠ ACB=75°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連結(jié)EF， 設(shè)⊙O半徑為x， EF為y．①y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②求線段EF長度的最小值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①；②．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)方法一，延長OE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，即可得到∠F=60°，從而求出OC的長；

（2）①根據(jù)方法一，容易求出y與x的關(guān)系，②由①知，EF是半徑的倍，所以只需求出半徑（或直徑AD）的取值范圍即可．由于D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，故AD最大為AB=，最小為△ABC的邊BC上的高．

試題解析：（1）∵tan∠OAB=，∴∠OAB-60°，延長OE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，∴∠F=∠OAB=60°，OF=4，∴OC=．

（2）①∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，∴∠BAC=60°，延長EO交⊙O于點(diǎn)G，連接GF，

∴∠G=∠BAC=60°，∵⊙O半徑為x， EF為y，∴；

②作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵∠ABC=45°，∴BH=AH，∵AB=，AH=2，∵AD=EG=，∴2≤AD≤，即，∵，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=1時(shí)，y最小，為．

考點(diǎn)：1．解直角三角形；2．圓周角定理；3．三角形內(nèi)角和定理．