Question

【題目】兩個三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點B與點D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設(shè)圖形中所有的點，線都在同一平面內(nèi)）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當點C落在邊EF上時停止運動．設(shè)三角板平移的距離為x（cm），兩個三角板重疊部分的面積為y（cm2）．

（1）當點C落在邊EF上時，x=cm；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)邊BC的中點為點M，邊DF的中點為點N．直接寫出在三角板平移過程中，點M與點N之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）15
（2）

解：①當0≤x＜6時，如圖2所示．

，

∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得

DG= x，BG= x，重疊部分的面積為y= DGBG= × x× x= x2

②當6≤x＜12時，如圖3所示．

，

BD=x，DG= x，BG= x，BE=x﹣6，EH= （x﹣6）．

重疊部分的面積為y=S△BDG﹣S△BEH= DGBG﹣ BEEH，

即y= × x× x﹣ （x﹣6） （x﹣6）

化簡，得y=﹣ x2+2 x﹣6 ；

③當12＜x≤15時，如圖4所示．

，

AC=6，BC=6 ，BD=x，BE=（x﹣6），EG= （x﹣6），重疊部分的面積為y=S△ABC﹣S△BEG= ACBC﹣ BEEG，

即y= ×6×6 ﹣ （x﹣6） （x﹣6），

化簡，得y=18 ﹣ （x2﹣12x+36）=﹣ x2+2 x+12 ；

綜上所述：y=

（3）

解：如圖5所示作NG⊥DE于G點．

，

點M在NG上時MN最短，

NG是△DEF的中位線，

NG= EF= ．

MB= CB=3 ，∠B=30°，

MG= MB= ，

MN最小=3 ﹣ =

【解析】解：（1）如圖1所示：作CG⊥AB于G點．
，
在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得
BC= =6 ．
在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=9．
四邊形CGEH是形，
CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，
所以答案是：15；