Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
（1）求證：△ACM≌△BCP；
（2）若PA=1，PB=2，求△PCM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由∠APC=∠CPB=60°得∠BAC=∠ABC=60°，則△ABC是等邊三角形，所以BC=AC，∠ACB=60°，再由CM∥BP得到∠PCM=∠BPC=60°，有可判斷△PCM是等邊三角形，得到PC=MC，∠M=60°，易得∠PCB=∠ACM，然后利用“AAS“可判斷△ACM≌△BCP≌△ACM；
（2）由△ACM≌△BCP≌△ACM得AM=PB=2，則PM=PA+AM=3，由于△PCM是等邊三角形，于是可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算其面積．

解答：（1）證明：∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵CM∥BP
∴∠PCM=∠BPC=60°，
又∵∠APC=60°，
∴△PCM是等邊三角形
∴PC=MC，∠M=60°，
∵∠BCA-∠PCA=∠PCM-∠PCA，
∴∠PCB=∠ACM，
在△ACM和△BCP中，

∠BPC=∠M ∠PCB=∠MCA CB=CA

，
∴△ACM≌△BCP≌△ACM（AAS），

（2）∵△ACM≌△BCP，
∴AM=PB=2，
∴PM=PA+AM=1+2=3，
∵△PCM是等邊三角形，
∴△PCM的面積=

3

4

CM²=

9 3

4

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)．