Question

已知關于x的方程x²-（m-3）+m-4=0．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若m是整數，方程有一個根大于-7且小于3，求反比例函數y=的解析式．

Answer 1

（1）證明：△=（m-3）²-4（m-4）
=m²-10m+25
=（m-5）²，
∵（m-5）²，≥0，
∴△≥0，
∴方程總有兩個實數根；

（2）解：x=，
∴x₁=1，x₂=m-4，
∵方程有一個根大于-7且小于-3，
∴-7＜m-4＜-3，解得-3＜m＜1
∵m是整數，
∴m的值為0，-2，
∵m≠0，
∴m=-2，
∴反比例函數的解析式為：y=．
分析：（1）先計算△得到△=（m-3）²-4（m-4）=m²-10m+25，配方得到（m-5）²，根據負非數的性質有（m-5）²，≥0，即△≥0，根據根的判別式的意義得到方程總有兩個實數根；
（2）利用求根公式可解得x₁=1，x₂=m-4，由方程有一個根大于-7且小于-3，得到-7＜m-4＜-3，解得-3＜m＜1，而m≠0，則滿足條件的整數為m=-2，即可確定反比例函數的解析式．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．