【題目】如圖1,AD、BD分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC、∠ABC的平分線,過點A作AE⊥AD,交BD的延長線于點E.
(1)求證:∠E=∠C;
(2)如圖2,如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求cos∠ABC的值;
(3)如果∠ABC是銳角,且△ABC與△ADE相似,求∠ABC的度數(shù).
【答案】(1)證明見詳解;(2);(3)30°或45°.
【解析】
(1)由題意:∠E=90°-∠ADE,證明∠ADE=90°- ∠C即可解決問題.
(2) 延長AD交BC于點F.證明AE∥BC,可得∠AFB=∠EAD=90°,,由BD:DE=2:3,可得cos∠ABC= ;
(3)因為△ABC與△ADE相似,∠DAE=90°,所以∠ABC中必有一個內(nèi)角為90°因為∠ABC是銳角,推出∠ABC≠90°.接下來分兩種情形分別求解即可.
(1)證明:如圖1中,
∵AE⊥AD,
∴∠DAE=90°,∠E=90°-∠ADE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD= ∠BAC,同理∠ABD= ∠ABC,
∵∠ADE=∠BAD+∠DBA,∠BAC+∠ABC=180°-∠C,
∴∠ADE= (∠ABC+∠BAC)=90°- ∠C,
∴∠E=90°-(90°- ∠C)= ∠C.
(2)解:延長AD交BC于點F.
∵AB=AE,
∴∠ABE=∠E,
BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠E=∠CBE,
∴AE∥BC,
∴∠AFB=∠EAD=90°,,
∵BD:DE=2:3,
∴cos∠ABC=;
(3)∵△ABC與△ADE相似,∠DAE=90°,
∴∠ABC中必有一個內(nèi)角為90°
∵∠ABC是銳角,
∴∠ABC≠90°.
①當∠BAC=∠DAE=90°時,
∵∠E=∠C,
∴∠ABC=∠E=∠C,
∵∠ABC+∠C=90°,
∴∠ABC=30°;
②當∠C=∠DAE=90°時,∠E=∠C=45°,
∴∠EDA=45°,
∵△ABC與△ADE相似,
∴∠ABC=45°;
綜上所述,∠ABC=30°或45°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(1,0).
(1)當b=2,c=﹣3時,求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)最小值;
(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B(m,e),C(3﹣m,e)且對任意實數(shù)x,函數(shù)值y都不小于﹣.
①求此時二次函數(shù)的解析式;
②若次函數(shù)與y軸交于點D,在對稱軸上存在一點P,使得PA+PD有最小值,求點P坐標及PA+PD的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下表所示,有A、B兩組數(shù):
第1個數(shù) | 第2個數(shù) | 第3個數(shù) | 第4個數(shù) | …… | 第9個數(shù) | …… | 第n個數(shù) | |
A組 | ﹣6 | ﹣5 | ﹣2 | …… | 58 | …… | n2﹣2n﹣5 | |
B組 | 1 | 4 | 7 | 10 | …… | 25 | …… |
(1)A組第4個數(shù)是 ;
(2)用含n的代數(shù)式表示B組第n個數(shù)是 ,并簡述理由;
(3)在這兩組數(shù)中,是否存在同一列上的兩個數(shù)相等,請說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于點,直線與軸交于點與軸左側(cè)拋物線交于點,直線與軸右側(cè)拋物線交于點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點是直線上方拋物線上一動點,求面積的最大值;
(3)點是拋物線上一動點,點是拋物線對稱軸上一動點,請直接寫出以點為頂點的四邊形是平行四邊形時點的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分線BE與AD交于點E,∠BED的角平分線EF與DC交于點F,若AB=8,DF=3FC,則BC=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角△ABC中,小明進行了如下的尺規(guī)作圖:
①分別以點A、B為圓心,以大于AB的長為半徑作弧,兩弧分別相交于點P、Q;
②作直線PQ分別交邊AB、BC于點E、D.
(1)小明所求作的直線DE是線段AB的 ;
(2)聯(lián)結(jié)AD,AD=7,sin∠DAC=,BC=9,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,點A(3,4),⊙A的半徑為.
(1)請在網(wǎng)格中畫出⊙A;
(2)請標出⊙A上的三個相鄰的格點B1、B2、B3,連接B1B3,則由和弦B1B3圍成的弓形面積為 ;
(3)線段CD,點C(6,4)、D(5,1),在⊙A上有一點M,使△CDM的面積最大,請找到此時的點M(保留必要輔助格點N).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D,E均在邊BC上,且∠DAE=45°
(1)若BD=2,CE=4,則DE=_____.
(2)若∠AEB=75°,則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______.
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