Question

已知：關(guān)于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0。
（1）求證：m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
①求二次函數(shù)y的解析式；
②已知一次函數(shù)y₂=2x-2，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）條件下，若二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-5，0），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≥y₃≥y₂ 均成立，求二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c的解析式。

Answer 1

解：（1）分兩種情況： 當(dāng)m=0時(shí)，原方程可化為3x-3=0，即x=1； ∴m=0時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根； 當(dāng)m≠0時(shí)，原方程為關(guān)于x的一元二次方程， ∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； 綜上可知：m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根； （2）①∵關(guān)于x的二次函數(shù)y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； ∴3（m-1）=0，即m=1； ∴拋物線的解析式為：y1=x2-1； ②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0， ∴y1≥y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立）； （3）由②知，當(dāng)x=1時(shí)，y1=y2=0，即y1、y2的圖象都經(jīng)過（1，0）； ∵對(duì)應(yīng)x的同一個(gè)值，y1≥y3≥y2成立， ∴y3=ax2+bx+c的圖象必經(jīng)過（1，0）， 又∵y3=ax2+bx+c經(jīng)過（-5，0）， ∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a； 設(shè)y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）； 對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2成立， ∴y3-y2≥0， ∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0； 根據(jù)y1、y2的圖象知：a＞0， ∴y最小=≥0 ∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0， ∴（3a-1）2≤0， 而（3a-1）2≥0，只有3a-1=0，解得a=， ∴拋物線的解析式為：y3=x2+x-。