Question

（1）證明：由2009個(gè)1和任意個(gè)0組成的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；
（2）試說(shuō)明，存在最左邊2009位都是1的形如

.

11…11 2009個(gè)1 *…**

的自然數(shù)（其中*代表阿拉伯?dāng)?shù)碼）是完全平方數(shù)．

Answer 1

（1）當(dāng)數(shù)的末尾有偶數(shù)個(gè)0時(shí)，只討論2009個(gè)1組成的數(shù)位完全平方數(shù)即可，
設(shè)為（10a+1）²=100a²+20a+1=20a（5a+1）+1，
或（10a+9）²=100a²+180a+81=20（5a+9a+4）+1，
由以上可知其十位數(shù)一定是偶數(shù)，因此2009個(gè)1組成的數(shù)不是完全平方數(shù)；
當(dāng)數(shù)的末尾有奇數(shù)個(gè)0時(shí)，只討論2009個(gè)1和1個(gè)0組成的數(shù)即可，
設(shè)為10k²，可其末尾至少有兩個(gè)0，因此2009個(gè)1和1個(gè)0組成的數(shù)不是完全平方數(shù)；
綜上所知，由2009個(gè)1和任意個(gè)0組成的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；
（2）因?yàn)?010²=11110，101010²=1111110，…，
設(shè)11…11_{（2009個(gè)1）}****=11…11_{（2008個(gè)1）}0…0+1****=（1010…10+k）²（1004個(gè)10），
而2020…20k+k²=1****一定存在一個(gè)數(shù)k，例如k=5，可以使其成為完全平方數(shù)．