Question

已知：正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，設點B（4，4），點P（t，0）是x軸上一動點，過點O作OH⊥AP于點H，直線OH交直線BC于點D，連AD．
（1）如圖1，當點P在線段OC上時，求證：OP=CD；
（2）在點P運動過程中，△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似時，求t的值；
（3）如圖2，拋物線y=-x²+x+4上是否存在點Q，使得以P、D、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵OD⊥AH，
∴∠OAP=∠DAC=90°-∠AOD；
正方形OABC中，OA=OC=4，∠AOP=∠OCD=90°，即：
∵，
∴△AOP≌△OCD
∴OP=CD．

（2）解：①點P在x軸負半軸上時，P（t，0），且t＜0，如圖①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH=∠PAO=90°-∠APO；
又∵∠POH=∠COD，
∴∠COD=∠PAO；
在△AOP與△OCD中，
∵，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP=CD=-t，則：BD=BC+CD=4-t；
若△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似，則有：
=，得：=
解得：t=2-2或t=2+2（正值舍去）；
②當點P在線段OC上時，P（t，0），0＜t≤4，如圖②；
因為OP＜OA、BD＜AB、OA=AB，
若△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似，那么有：=，所以OP=BD，即：
t=4-t，t=2；
③當點P在點C右側(cè)時，P（t，0），t＞4，如圖③；
同①可求得t=2+2；
綜上，t₁=2，t₂=，t₃=．

（3）解：假設存在符合條件的點Q，分兩種情況討論：
①PC為平行四邊形的對角線，則QP∥CD，且QP=CD；
若P（t，0）、D（4，t），則Q（t，-t），代入拋物線y=-x²+x+4中，得：
-t²+t+4=-t，即：t²-10t-24=0，
解得：t₁=-2，t₂=12；
②PC為平行四邊形的邊，則DQ∥PC，且AD=PC；
若P（t，0）、D（4，t），則 PC=QD=|t-4|，Q（t，t）或（8-t，t）；
Q（t，t）時，t=-t²+t+4，即：t²+2t-24=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=-6；
Q（8-t，t）時，t=-（8-t）²+（8-t）+4，即：t²-6t+8=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=2．
綜上可知，t₁=2，t₂=12，t₃=-6，t₄=-2．
∴存在點Q，使得以P、D、Q、C為頂點的四邊形為平行四邊形．
分析：（1）證OP=CD，可以證明它們所在的三角形全等，即證明：△AOP≌△OCD；已知的條件有：∠AOP=∠OCD=90°，OA=OC=4，只需再找出一組對應角相等即可，通過圖示可以發(fā)現(xiàn)∠OAP、∠HAP是同角的余角，這兩個角相等，那么證明三角形全等的全部條件都已得出，則結(jié)論可證．
（2）點P在x軸上運動，那么就需分三種情況討論：
①點P在x軸負半軸上；可以延續(xù)（1）的解題思路，先證明△AOP、△OCD全等，那么得到的條件是OP=CD，然后用t表示OP、BD的長，再根據(jù)給出的相似三角形得到的比例線段，列等式求出此時t的值，要注意t的正負值的判斷；
②點P在線段OC上時；由于OP、CD都小于等于正方形的邊長（即OA、AB），所以只有OP=BD時，給出的兩個三角形才有可能相似（此時是全等），可據(jù)此求出t的值；
③點P在點C的右側(cè)時；方法同①．
（3）這道題要分兩種情況討論：
①線段PC為平行四邊形的對角線，那么點Q、D關于PC的中點對稱，即兩點的縱坐標互為相反數(shù)，而QP∥CD，即Q、P的橫坐標相同，那么先用t表示出Q點的坐標，代入拋物線的解析式中，即可確定t的值；
②線段PC為平行四邊形的邊；先用t表示出PC的長，把點D向左或向右平移PC長個單位就能表達出點Q的坐標，代入拋物線解析式后即可得到t的值．
點評：此題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要涉及了正方形的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的特點等重點知識；題目解題的思路并不復雜，但難度在于涉及的情況太多，需要分情況逐一進行討論，容易漏解．