Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F．

（1）圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來(lái)證明AE=EF，請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案，并指出是哪兩個(gè)三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請(qǐng)給出證明；
②在如圖2的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí)，點(diǎn)F恰好落在拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+1上，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，取AB的中點(diǎn)G，連接EG．

△AGE與△ECF全等．

（2）解：①若點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上滑動(dòng)時(shí)AE=EF總成立．

證明：如圖2，在A(yíng)B上截取AM=EC．

∵AB=BC，

∴BM=BE，

∴△MBE是等腰直角三角形，

∴∠AME=180°﹣45°=135°，

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF．

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF．

∴AE=EF．

②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，

由①知，F(xiàn)H=BE=CH，

設(shè)BH=a，則FH=a﹣1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（a，a﹣1）

∵點(diǎn)F恰好落在拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+1上，

∴a﹣1=﹣a2+a+1，

∴a2=2，a=± （負(fù)值不合題意，舍去），

∴ ．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為

【解析】（1）取AB的中點(diǎn)G，連接EG，再由已知條件利用ASA能得到△AGE與△ECF全等；
（2）①在A(yíng)B上截取AM=EC，證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF；②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，根據(jù)FH=BE=CH設(shè)BH=a，則FH=a-1，然后表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F恰好落在拋物線(xiàn)y=-x2+x+1上得到有關(guān)a的方程求得a值即可求得所求結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。�